Виды ДУ и методы их решения
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее. Далее рассмотрим самые основные виды ДУ.
Дифференциальное уравнение I-го порядка
Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка выглядит следующим образом: F(x, y, y') = 0 (1.1)
Если соотношение (1.1) решить относительно производной, как вариант дифференциала, то получим уравнение такого вида: y' = f(x, y) (1.2)
Такое уравнение называют дифференциальным уравнением, решенным относительно производной. Дифференциальное уравнение I-го порядка имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечное множестворешений. Чтобы из этого множества решений выделить определенное решение, задают значение неизвестной функции y = y0 при некотором значении аргумента x = x0.
Условие, что при x = x0 функция у принимает заранее заданное значение y0, называют начальным условием. Мы это условие запишем в виде
y|x=x0 = y0 или y(x0) = y0 (1.3)
Проблему нахождения решения дифференциального y' = f(x,y) уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(x0) = y0, называют задачей Коши.
Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка выглядит следующим образом: F(x, y, y') = 0 (1.1)
Если соотношение (1.1) решить относительно производной, как вариант дифференциала, то получим уравнение такого вида: y' = f(x, y) (1.2)
Такое уравнение называют дифференциальным уравнением, решенным относительно производной. Дифференциальное уравнение I-го порядка имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечное множестворешений. Чтобы из этого множества решений выделить определенное решение, задают значение неизвестной функции y = y0 при некотором значении аргумента x = x0.
Условие, что при x = x0 функция у принимает заранее заданное значение y0, называют начальным условием. Мы это условие запишем в виде
y|x=x0 = y0 или y(x0) = y0 (1.3)
Проблему нахождения решения дифференциального y' = f(x,y) уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(x0) = y0, называют задачей Коши.
Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение I-го порядка вида φ(y)dy = f(x)dx (2.1)
называется уравнением с переменными, которые можно разделить.
Непосредственно (дифференцированием) устанавливается, что ОИ уравнения (2.1) является соотношение
∫ φ(y)dy = ∫ f(x)dx (2.2)
где - C=const.
Пример 2.1. Решить “дифур” 2y2dy = 3xdx.
Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части
Дифференциальное уравнение I-го порядка вида φ(y)dy = f(x)dx (2.1)
называется уравнением с переменными, которые можно разделить.
Непосредственно (дифференцированием) устанавливается, что ОИ уравнения (2.1) является соотношение
∫ φ(y)dy = ∫ f(x)dx (2.2)
где - C=const.
Пример 2.1. Решить “дифур” 2y2dy = 3xdx.
Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части
Легко увидеть, что это решение, при желании, можно записать в явной форме, но обычно его оставляют в той форме, в которой получили, кое-что упростив получим 4y3 = 9x2 + C.
Пример 2.2. Решить “дифур”
Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части
Поскольку C=const, то зачастую в такой форме решения для удобства записи, вместо C пишут ln |C|, а дальше выражение потенцируют
ln|y - 1| = ln|x| + ln C
ln|y - 1| = ln|Cx|
y – 1 = Cx
y = Cx + 1.
ln|y - 1| = ln|x| + ln C
ln|y - 1| = ln|Cx|
y – 1 = Cx
y = Cx + 1.
